Le problème mathématique inattendu à l'œuvre pendant la Coupe du monde de football féminin

La récente Coupe du monde de football féminin, qui s'est déroulée en Australie, a eu quelque chose d'étrange. Si vous avez été attentif, vous l'avez peut-être remarqué. De nombreuses équipes avaient des joueuses nées le même jour de l'année - elles avaient le même anniversaire.

Que se passe-t-il ?

Il existe un phénomène contre-intuitif connu sous le nom de "problème des anniversaires" ou "paradoxe des anniversaires", que les mathématiciens aiment utiliser pour confondre nos attentes. Le problème est généralement formulé de la manière suivante : "Combien de personnes faut-il réunir lors d'une fête pour que la probabilité qu'au moins deux personnes aient le même anniversaire soit supérieure à 50 % ?

Généralement, lorsque l'on pose ce problème pour la première fois, les gens choisissent un nombre comme 180, qui correspond à peu près à la moitié du nombre de jours de l'année. Cela s'explique par le fait que nous avons tendance à nous mettre dans la pièce et à penser à la probabilité que quelqu'un d'autre ait le même anniversaire que nous. Or, 180 jours, c'est beaucoup, beaucoup trop.

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En partant de l'hypothèse raisonnable que les anniversaires sont à peu près également répartis tout au long de l'année, la réponse est seulement 23 personnes. En effet, nous ne nous préoccupons pas du jour particulier où tombe l'anniversaire, mais seulement du fait qu'il y ait une correspondance. Lorsque 39 personnes se réunissent, la probabilité s'élève à près de 90 %.

Pour comprendre pourquoi le nombre requis est si faible, nous pouvons commencer par considérer le nombre de paires de personnes dans la salle - les paires d'anniversaires tombant le même jour étant, après tout, l'objet de la question. Avec 23 personnes dans la salle, il y a 253 façons possibles de les combiner en paires (voir le diagramme ci-dessous). Le calcul exact de la probabilité d'une correspondance est un peu compliqué, mais peut-être - une fois que l'on sait que 23 personnes donnent lieu à 253 paires - devient-il moins surprenant que la probabilité qu'au moins une paire ait le même anniversaire dépasse les 50 %. S'il y a plus de 50 personnes, la probabilité que deux personnes partagent la même date d'anniversaire dépasse 97 %.

Voilà pour la théorie, mais cela fonctionne-t-il dans la pratique ? Lors de la dernière Coupe du monde de football féminin, 32 équipes ont participé, chacune comptant exactement 23 joueuses. C'est le banc d'essai parfait pour la théorie.

En analysant les données, j'ai pu constater que 17 (soit un peu plus de la moitié) des 32 équipes avaient au moins deux joueuses dont la date d'anniversaire était la même. Ce n'est pas parfait, mais c'est assez proche de la moyenne de 16 à laquelle on pourrait s'attendre si l'on répétait l'expérience plusieurs fois.

Il est intéressant de noter que seules les Panaméennes Carmen Montenegro et Lineth Cedeño sont nées exactement le même jour de la même année (5 décembre 2000). Trois équipes (Brésil, Colombie et Danemark) avaient deux paires d'anniversaires communs et deux équipes (Maroc et Nigeria) en avaient même trois. Leur anniversaire tombant le jour de Noël, les deux Nigérians Glory Ogbonna et Christy Ucheibe, bien nommés, ont le deuxième anniversaire le plus fréquent dans toutes les équipes, avec un total de sept personnes partageant cette date.

Dans la deuxième demi-finale, c'est un autre duo d'anniversaires qui s'est affronté. Les remplaçantes tardives Alex Chidiac (pour l'Australie) et Chloe Kelly (pour l'Angleterre) sont toutes deux nées le 15 janvier, Kelly ayant exactement un an de plus que son homologue. Le milieu de terrain anglais Jordan Nobbs et son adversaire, l'attaquante espagnole Esther Gonzalez, sont nés exactement le même jour (8 décembre 1992). Bien qu'elles fassent partie de l'équipe, aucune d'entre elles n'est entrée sur le terrain lorsque l'Angleterre a affronté l'Espagne en finale de la Coupe du monde.

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Au total, j'ai identifié 24 paires d'anniversaires au sein des équipes (par coïncidence, un peu plus que le nombre magique - 23), de sorte que le même "raisonnement d'anniversaire" suggère qu'il y a - plus probablement qu'autrement - une paire de paires parmi ces dates également. Et en effet, le 3 mars est l'anniversaire d'une paire danoise (Simone Boye Sørensen et Luna Gevitz) et d'une paire colombienne (Sandra Sepúlveda et Diana Ospina Garcia). Il s'avère que le 3 mars est l'anniversaire le plus populaire dans toutes les équipes, avec un total de neuf joueuses partageant cet anniversaire.

En dehors du football, le même raisonnement sur le "problème des anniversaires" peut nous aider à expliquer des paradoxes apparents dans d'autres domaines. En 2001, alors qu'ils consultaient la base de données ADN de l'État d'Arizona, qui contenait 65 493 échantillons, des scientifiques ont découvert une correspondance partielle entre deux profils d'ADN sans lien de parenté. Pour deux individus donnés sans lien de parenté, on ne s'attendrait à une telle concordance qu'une fois sur 31 millions de paires de profils échantillonnés. Cette découverte surprenante, que les chercheurs ont présentée lors d'une conférence scientifique, les a incités à rechercher d'autres correspondances possibles. En comparant tous les profils de la base de données, 122 paires d'individus présentant un degré de ressemblance similaire, voire supérieur, ont été identifiées.

Sur la base de cette étude et doutant désormais du caractère unique des identifiants ADN, des avocats aux États-Unis ont demandé que des comparaisons similaires soient effectuées dans d'autres bases de données ADN, y compris la base de données ADN nationale qui contient 11 millions d'échantillons. Si 122 correspondances ont été trouvées dans une base de données de 65 000 personnes, peut-on vraiment compter sur l'ADN pour identifier des suspects dans un pays de 300 millions d'habitants ? Les probabilités associées aux profils ADN sont-elles incorrectes et risquent-elles donc de compromettre la sécurité des condamnations fondées sur l'ADN dans l'ensemble du pays ? Certains avocats l'ont cru et ont même présenté les conclusions de l'Arizona comme éléments de preuve, afin de mettre en doute la fiabilité des preuves ADN dans les procès de leurs accusés.

En fait, on peut calculer qu'en comparant chacun des 65 493 échantillons de la base de données de l'Arizona avec tous les autres, on obtient un total de plus de deux milliards de paires uniques d'échantillons. Avec une probabilité d'une correspondance pour 31 millions de paires de profils non apparentés, nous devrions nous attendre à 68 correspondances partielles.

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La différence entre les 68 correspondances attendues et les 122 trouvées peut facilement s'expliquer par la présence de profils de proches parents dans la base de données. Les profils des proches sont nettement plus susceptibles de donner lieu à une concordance partielle que ceux des personnes non apparentées. Plutôt que d'ébranler notre confiance dans les preuves génétiques, les résultats de la base de données s'accordent assez bien avec les mathématiques "d'anniversaire".

Le nombre étonnamment élevé de combinaisons par paires que révèlent les problèmes de type anniversaire est souvent à l'origine du grand nombre de possibilités qui permettent à des événements apparemment improbables de se produire par pur hasard. Dans de telles situations, il est bon de se rappeler que lorsqu'il y a suffisamment de possibilités pour qu'un événement se produise, même si la probabilité que l'une d'entre elles se produise semble faible, l'ensemble de ces possibilités peut faire en sorte que même des événements apparemment improbables deviennent extrêmement probables.