Mathématiques : les raretés de Pi, le numéro avec le plus de fans au monde

14 mars : 3/14 . Dire "trois quatorze" dessine rapidement dans notre esprit un nombre qui nous rappelle le lycée.

Il est fort possible, d'ailleurs, qu'en l'écoutant nous suivions la litanie : quinze, quatre-vingt-douze, soixante-cinq... pour peu que notre mémoire nous parvienne à retenir les chiffres du nombre unique Pi. Le Congrès américain en 2009 a officiellement déclaré que ce jour, le 14 mars, serait le jour π.

Ce fut un énorme succès dès le début, et l'idée a grandi jusqu'à ce qu'en 2019, l'UNESCO l'ait déclarée Journée internationale des mathématiques. Depuis lors, chaque année, de plus en plus de personnes se joignent à la célébration, avec π comme symbole de ceux d'entre nous qui aiment les mathématiques.

Pi n'est pas vraiment un nombre

Commençons par clarifier quelque chose, Pi est la seizième lettre de l'alphabet grec (π) et en mathématiques, nous l'utilisons pour représenter quelque chose de beaucoup plus intéressant qu'un nombre (je ne dis pas que les nombres ne le sont pas). Ainsi, la première bizarrerie de Pi est qu'il n'est pas un nombre . Mais alors, si ce n'est pas un nombre, c'est quoi Pi ?

Pi représente le rapport de la longueur de la circonférence à son diamètre. Une proportion qui a la particularité (ici sa seconde rareté) d'être constante , c'est-à-dire d'avoir toujours la même valeur quelle que soit la taille de la circonférence.

En particulier, dans la géométrie euclidienne -celle que nous devons à Euclide (325-265 avant notre ère) et qui nous assure des choses comme qu'une seule droite passe par deux points- la valeur constante de Pi est si spéciale (et maintenant il y en a trois) qu'ielle semble irrationnelle.

Bien qu'il soit le résultat de la division du périmètre par le diamètre, il ne peut jamais être exprimé comme la division de deux nombres entiers. Si le diamètre d'une roue est une valeur "exacte", sans décimales, l'espace qu'elle parcourra en un tour ne le sera pas. Mais alors combien sera-t-il ? Nous abordons une question clé, la valeur de Pi... mais je continue avec une autre de ses raretés, la quatrième déjà.

Pi est transcendantal . Ce n'est pas qu'il soit si important qu'il transcende (aussi) mais qu'il soit transcendant, sans n. Cette propriété mathématique nous assure que Pi ne sera jamais la solution d'aucun polynôme.

Polynôme? Je suis sûr que vous vous souvenez de lui de vos études de mathématiques. Les polynômes sont des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît élevée à un ou plusieurs nombres naturels, par exemple x2 + x + 3 = 0.

Eh bien, peu importe les exposants et les nombres utilisés, il n'y a pas de polynôme pour lequel x est égal à Pi. Il convient également de mentionner qu'il s'agit d'une propriété que de nombreux nombres ne rencontrent pas, donc, à ce stade, il est déjà prouvé que Pi est rare mais le meilleur manque toujours. Maintenant oui, parlons de sa valeur.

La valeur insaisissable de Pi

Comme nous l'avons dit au début, la valeur constante de Pi (en géométrie euclidienne) est 3,141592... mais, précisément parce qu'elle est irrationnelle, nous savons qu'elle aura une infinité de décimales. Infinis, à ce qu'il paraît, sans fin et, pour ne rien arranger, dans ce cas, ce n'est pas seulement qu'ils sont infinis mais qu'ils ne suivent aucun schéma.

Ils apparaissent placés au hasard, tous les nombres de 0 à 9 ayant une chance égale d'apparaître. En fait, ses valeurs peuvent être utilisées comme générateur de nombres aléatoires et il est possible de rechercher parmi eux n'importe quelle succession de chiffres, même le numéro d'identification de n'importe quelle personne, qui est sûr de se trouver quelque part.

Cependant, la chose la plus importante à propos de cette propriété de Pi est qu'elle est devenue une source d'inspiration pour le travail de nombreuses personnes.

Dès les premiers temps (il y a des indications que Pi était déjà connu des Babyloniens en 2000 avant notre ère), des efforts ont été faits pour établir sa valeur aussi précisément que possible. En particulier, l'un des premiers à porter ses fruits fut celui d'Archimède de Syracuse (287 - 212 av. J.-C.), qui conçut une méthode pour limiter la valeur de cette constante rare.

Archimède utilisait des polygones inscrits (ceux situés dans la circonférence) et circonscrits (ceux contenant la circonférence à l'intérieur). De cette manière, la valeur du périmètre de la circonférence serait toujours comprise entre le périmètre du polygone inscrit et celui du polygone circonscrit.

En ajoutant de plus en plus de côtés aux polygones, Archimède a pu donner une plage de valeurs pour Pi, qui avait une erreur maximale de 0,040% sur la valeur réelle... allez, fermez, fermez.

L'idée d'Archimède fut suivie de bien d'autres de nature très diverse, certaines même du point de vue des probabilités et des statistiques, comme ce fut le cas de Georges-Luis Leclerc (1707-1788), comte de Buffon.

En particulier, Leclerc a trouvé le nombre Pi tout en essayant de déterminer la probabilité que le fait de lancer une aiguille sur un ensemble de lignes parallèles la fasse atterrir en travers sur l'une des lignes. Après divers calculs, il conclut que si les lignes étaient séparées par la même distance que la longueur de l'aiguille, cette probabilité était de 2 divisé par Pi.

De cette manière, il était facile d'approximer Pi en lançant de nombreuses aiguilles, en observant la proportion de celles-ci qui coupaient réellement les lignes parallèles et en la comparant à la probabilité exacte.

Cependant, avec l'arrivée de l'ère informatique, la cinquième bizarrerie de Pi est apparue, étant un nombre calculable. En particulier, Alan Turing, en 1936, a défini qu'un nombre est calculable s'il existe un algorithme qui nous permet d'approximer sa valeur avec un nombre de décimales prédéterminées.

63 trillions de décimales de Pi ont été calculées

Partant de ce postulat, en 1949 une machine ENIAC réussit à battre le record établi à ce jour par l'homme et à calculer les 2037 premières décimales de Pi, donnant le coup d'envoi d'une course qui a atteint les 63 milliards de chiffres (européens) avec lesquels elle a été calculée en 2021. par une équipe de l'Université des Sciences Appliquées du canton suisse des Grisons.

Mais Pi n'est pas seulement une curieuse entité mathématique qui a rallié les ficelles de la pensée humaine depuis l'Antiquité. Pi est, comme nous l'assure Rhett Alain, un nombre étonnant qui apparaît naturellement là où on s'y attend le moins : dans l'estimation de notre position par GPS, dans le mouvement du balancier d'une horloge murale ou encore dans la manière dont un assistant By voix, il est capable de reconnaître que l'utilisateur souhaite, par exemple, qu'on lui raconte une blague.

Mais surtout, Pi est l'excuse parfaite pour célébrer les mathématiques et tout ce qu'elles nous offrent chaque 14 mars. Bonne journée internationale des mathématiques !