Svetlana Jitomirskaya, la mathématicienne à l'origine de la solution au "problème des dix Martinis" de la mécanique quantique

Il existe un type de papillon qui captive le professeur Svetlana Jitomirskaya depuis des années.

C'est en partie ce qui l'a amenée à se pencher sur un problème mathématique posé en 1981.

"Le papillon d'Hofstadter est un objet extrêmement agréable à regarder", dit-elle.

Il s'agit de la représentation graphique, réalisée dans les années 1970 par le scientifique Douglas Hofstadter, d'un ensemble fractal et a joué un rôle important dans la mécanique quantique.

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Mais un élément plus décisif l'a attirée vers le problème : "certaines idées significatives" qu'elle avait développées dans le domaine.

De plus, dit-elle, la conjecture "porte un nom très attrayant".

Le mathématicien a contribué à résoudre le "problème des dix martinis", dont le nom est né après que le mathématicien Mark Kac a offert dix martinis à quiconque pourrait le résoudre.

Kac n'a pas su apprécier l'exploit de Jitomirskaya. Il est mort en 1984, mais c'est son collègue Barry Simon qui a donné son nom à la conjecture et l'a popularisée.

"Avez-vous déjà bu un martini ?", demande-je au chercheur basé aux États-Unis.

"J'ai déjà bu des martinis, mais pas pour ce problème", dit-elle en riant.

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Voici l'histoire de l'un des plus grands mathématiciens actuels, dont les contributions à la physique mathématique et aux systèmes dynamiques ont été largement reconnues.

Plus récemment, en juillet, elle a reçu le premier prix Olga Alexandrovna Ladyzhenskaya lors d'une session conjointe de deux conférences satellites du Congrès international des mathématiciens.

Parmi les mathématiciens

Jitomirskaya est née à Kharkiv, en Ukraine, en 1966.

Elle parle avec admiration de sa mère, Valentina Borok, une mathématicienne de premier plan qui a travaillé sur les équations aux dérivées partielles et qui est devenue le seul professeur de mathématiques titulaire en Ukraine en 1970.

"Elle était si brillante que je savais que je ne l'étais pas", dit-elle.

"En un sens, je ne pensais pas pouvoir réussir en mathématiques, car c'était si difficile pour les femmes à l'époque.

"Il était clair que vous, surtout en tant que femme, deviez être très exceptionnelle, mais pas parce qu'il y avait de la discrimination, c'est parce que, malgré toute la propagande communiste selon laquelle les femmes étaient égales, toute la société était extrêmement traditionnelle et on attendait des femmes qu'elles s'occupent de la famille et de la sphère domestique."

"Ma mère m'a toujours dit que la famille était la chose la plus importante".

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Et, bien qu'elle soit une source d'inspiration, elle savait que sa mère ne voulait pas qu'elle suive la voie des mathématiques.

Son père, également mathématicien, ne l'a pas contredite : "Mes parents agissaient comme une unité".

"Quand j'étais petite, c'était comme s'ils avaient en quelque sorte essayé de me dissuader de devenir mathématicienne parce qu'ils pensaient que c'était trop difficile pour une fille".

"J'ai récemment demandé à mon père pourquoi ils m'avaient découragé et pas mon frère et il m'a répondu : "C'était l'idée de ta mère". Je pense que c'est vrai, c'est elle qui a eu l'idée qu'on essaie de m'orienter vers d'autres choses."

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Comme un "miracle"

Jitomirskaya aimait la littérature et la philologie, mais pour elle, l'Union soviétique n'était pas l'endroit idéal pour poursuivre cette passion, car ces domaines étaient fortement imprégnés de l'idéologie communiste.

Ensuite, elle est tombée amoureuse des mathématiques lorsqu'elle a commencé à les étudier en profondeur, "ce qui n'est arrivé que lorsque je suis entrée à l'université d'État de Moscou".

"C'était un environnement incroyable pour un étudiant qui était prêt à tout absorber et prêt à étudier dur.

"Et c'est une sorte de miracle que j'aie été acceptée, car ils n'admettaient pas les Juifs.

Elle s'est très bien préparée au processus d'admission car, dit-elle, les candidats juifs étaient traités très différemment.

"On leur a donné des problèmes très difficiles, fondamentalement impossibles à résoudre. J'ai donc passé ma dernière année de lycée à préparer cet examen."

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Pourtant, elle pensait qu'elle ne passerait pas.

"D'une certaine manière, ils ne se sont pas rendu compte que j'étais juive Elle dit qu'elle était inscrite sur les documents en tant qu'Ukrainienne.

Elle a été admise et la jeune fille de 16 ans a profité de toutes les ressources éducatives disponibles : "des conférences, des séminaires étonnants".

"Je suis vraiment tombée amoureuse des mathématiques et je n'ai jamais regardé en arrière. Je me souviens qu'en deuxième année, je pensais que je ne pouvais pas m'imaginer étudier autre chose que les mathématiques".

Des années plus tard, après qu'une opportunité académique se soit présentée pour son mari, un physico-chimiste, Jitomirskaya est partie avec lui aux États-Unis.

Elle trouve un emploi temporaire en tant que chargée de cours à temps partiel à l'université de Californie, Irvine, et poursuit ses recherches.

Elle est actuellement professeur dans cette institution et a récemment été nommée professeur à l'Institut de technologie de Géorgie.

Physique mathématique

Elle explique que l'un des points forts de son domaine est de vérifier les conjectures des physiciens, "des idées qui sont comprises depuis longtemps".

Mais elle fait aussi le contraire, "parfois nous réfutons, nous prouvons qu'ils ont tort, parfois en faisant de nouvelles prédictions liées aux modèles physiques".

"C'est assez excitant parce que parfois on fait des liens avec la vie réelle, mais pas toujours.

"Plus précisément, je travaille dans le domaine des opérateurs quasi-périodiques."

Cela concerne la mécanique quantique et le "problème des 10 Martinis" fait partie de ce domaine fascinant.

Depuis les années 1990, Jitomirskaya a travaillé sur divers aspects de cette conjecture, obtenu de nombreuses "pièces du puzzle" et publié ses résultats.

En 2003, le mathématicien espagnol Joaquim Puig "a fait une percée cruciale dans ce problème". En fait, dans ses recherches, il a cité les travaux de Jitomirskaya.

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"Il a remarqué quelque chose de très bien. Cela semblait être un petit ajout à mes travaux antérieurs, mais c'était une observation très brillante et je m'en voulais un peu de ne pas avoir vu cette voie dans le problème."

"Tous les paramètres"

Moins d'un an plus tard, un "très jeune" mathématicien brésilien la contacte (des années plus tard, en 2014, ce garçon remportera la médaille Fields (également connue sous le nom de prix Nobel de mathématiques).

"Artur Avila m'a écrit qu'il voulait me rendre visite pour travailler sur ce problème. J'avais déjà vu son nom parce qu'il avait publié quelques grands articles.

Jitomirskaya se souvient qu'elle lui a dit : "le problème n'est pas complètement résolu tant que vous n'avez pas déterminé tous les paramètres".

Avila lui a mentionné qu'il avait vu dans une de ses publications qu'elle avait laissé entendre qu'elle pourrait obtenir un autre résultat pour les "paramètres restants".

"Et il m'a dit que si je pouvais vraiment le faire, nous pourrions terminer le problème complètement. Je lui ai dit que c'était possible, mais que ce serait très difficile, technique, et que cela prendrait beaucoup de temps".

Mais Avila était persuasif.

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Lorsqu'ils ont commencé à travailler sur "cette démonstration technique très difficile", ils ont réalisé qu'ils devaient "inventer d'autres moyens".

Et dans le processus, ils ont développé de nouveaux outils, techniques et approches qui font l'admiration des connaisseurs.

Ils ont prouvé la conjecture et publié le résultat dans la prestigieuse revue Annals of Mathematics en 2009.

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Quel est le problème ?

Daniel Peralta est un chercheur spécialisé dans les systèmes dynamiques à l'Institut des sciences mathématiques (ICMAT) du Conseil national de la recherche espagnol (CSIC).

Il connaît bien le travail de Jitomirskaya et l'a rencontrée lors de plusieurs conférences. "C'est toujours très agréable de lui parler et d'écouter ses présentations", dit-il à BBC Mundo.

En fait, il se souvient d'une conférence en Chine où la mathématicienne a montré le papillon de Hofstadter, qui représente le spectre des opérateurs qu'elle étudie.

Ces opérateurs", explique Peralta, "apparaissent dans certains modèles qui cherchent à décrire les phénomènes physiques quantiques.

"Les opérateurs de Schrödinger apparaissent dans de nombreux contextes de mécanique quantique, et Jitomirskaya a principalement étudié ceux qui apparaissent dans le contexte du mouvement des électrons soumis à des champs magnétiques perpendiculaires à la dynamique de l'électron".

Ils sont connus sous le nom d'opérateurs de Mathieu quasi-périodiques.

"En général, un opérateur en mécanique quantique est un objet mathématique, une règle mathématique, qui prend une fonction de différentes valeurs et renvoie une fonction différente".

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La clé est de comprendre, d'un point de vue physique, le spectre, c'est-à-dire de voir pour quelles fonctions, lorsque l'opérateur leur est appliqué, il renvoie la même fonction.

C'est, explique le chercheur, l'une des grandes différences (parmi beaucoup d'autres) entre la physique classique et la physique quantique.

Par exemple, en principe, en physique classique, la vitesse d'un électron, d'une particule, peut prendre n'importe quelle valeur.

"Or, en mécanique quantique, il y a beaucoup d'objets qui sont quantifiés, ils ne peuvent pas prendre n'importe quelle valeur, ils ne peuvent prendre qu'une série de valeurs discrètes. Ce phénomène, ainsi que le principe d'incertitude d'Heisenberg (c'est-à-dire le fait que certaines quantités ne peuvent être mesurées avec précision) marquent la principale différence par rapport à la physique classique".

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La démonstration

Dans les années 1960, les physiciens se sont rendu compte que les valeurs que peut prendre ce type d'opérateur dépendent de la fréquence, c'est-à-dire que le spectre change lorsque les paramètres varient.

"Ils ont observé que lorsque la fréquence était un nombre irrationnel, le spectre avait une structure fractale très étrange, connue sous le nom d'ensemble de Cantor.

"Ceci est énoncé mathématiquement dans l'énoncé de dix martini.

Le problème est de prouver - ce que les physiciens avaient déjà observé - que lorsque la fréquence, c'est-à-dire l'intensité du champ magnétique pour ce type d'opérateur est un nombre irrationnel, le spectre est un ensemble de Cantor.

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Depuis les années 1980 et 1990, de nombreux chercheurs se sont penchés sur ce problème.

Puig a fait une percée, mais "le point culminant de tout ce travail, de toutes ces années et de tant de personnes, est la preuve qu'Avila et Jitomirskaya ont apportée".

"Ils prouvent la conjecture originale : pour toutes les fréquences irrationnelles, le spectre des opérateurs Mathieu quasi-périodiques est un ensemble de Cantor.

Ainsi, le "problème des dix martini" est enfin résolu".

Ce reportage fait partie de l'émission spéciale de la BBC consacrée aux 100 femmes inspirantes et influentes du monde en 2022.