Lorsque l'on dépasse les billions, on trouve des nombres extrêmement surprenants
Lorsque l'on dépasse les billions, on trouve des nombres extrêmement surprenants, explique Richard Fisher. Certains d'entre eux sont trop grands pour tenir dans l'esprit - ou même dans l'univers connu.
Quel est le plus grand nombre auquel vous pouvez penser ? Quand j'étais enfant, c'est le genre de question que l'on se posait dans la cour de récréation. Quelqu'un répondait quelque chose de désespérément naïf comme "un milliard de milliards de milliards", avant d'être devancé par un camarade qui parlait de trillions, de squillions ou de kajillions (peu importe qu'un seul de ces nombres soit réel).
Finalement, quelqu'un se souviendra qu'il connaissait la réponse gagnante : "l'infini !". Mais l'autosatisfaction est de courte durée. Un autre enfant a rapidement fait remarquer qu'il pouvait le battre, avec "l'infini... plus un".
Essayer d'imaginer et de comprendre les très grands nombres, cependant, est plus qu'un simple jeu de cour de récréation. Les mathématiciens y réfléchissent depuis des siècles. Ils ont proposé l'existence de nombres si énormes qu'aucun être humain n'a jamais réussi à les imaginer en entier, et encore moins à les écrire. Quant à l'infini, il s'avère qu'il en existe plus d'un - et, de manière contre-intuitive, certains infinis sont plus grands que d'autres.
Commençons par une évidence qui n'a pas été comprise par l'enfant que j'étais à l'âge de 10 ans. Il n'existe pas de nombre spécifique que l'on pourrait qualifier de plus grand, puisque les nombres naturels sont infinis. Vous ne pouvez pas gagner le jeu de la cour de récréation.
Toutefois, cela ne signifie pas que tous les grands nombres ont été pensés, exprimés, écrits... ou même représentés par des ordinateurs.
Grimpons d'abord dans l'échelle des nombres directement au-delà de ceux utilisés dans la vie quotidienne. Dans les titres des journaux, les plus grands nombres - ceux de la dette nationale, par exemple - s'expriment en milliers de milliards. Mais il existe une hiérarchie de nombres toujours plus grands qui viennent ensuite, et dont les noms sont rarement mentionnés. Cela commence par les quadrillions, les quintillions, les sextillions, etc. Un quadrillion (version américaine) compte 15 zéros, un quintillion en compte 18 et un sextillion en compte 21.
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On peut aller jusqu'au centillion, qui compte 303 zéros dans la version américaine (et au-delà, avec le duocentillion, le trecentillion, mais ces chiffres sont moins standardisés). En réalité, seuls les physiciens et les mathématiciens pourraient utiliser le centillion, et encore, uniquement dans des domaines spécialisés comme la théorie des cordes. Si Elon Musk voulait devenir centillionnaire, il devrait gagner sa fortune actuelle chaque milliseconde pendant les 1,7 x 10^282 prochaines années, soit un nombre de 283 chiffres.
Gogols et gogolplexes
Un autre grand nombre, qui n'est pas aussi grand qu'un centillion américain, mais qui est peut-être plus connu, est un gogol. Il s'agit d'un un suivi de 100 zéros, soit 10^100, qui a inspiré un moteur de recherche bien connu. Les fondateurs de Google ont été attirés par ce terme parce qu'il faisait référence à l'énorme quantité d'informations que l'on trouve en ligne. Toutefois, jusqu'à présent, l'internet est loin d'être aussi grand : à ce jour, la Wayback Machine de l'Internet Archive n'a indexé que 801 milliards de pages web depuis les années 1990.
Il est possible de surcharger un googol en le transformant en un gogolplex (nom du siège californien de Google). Ce nombre est égal à 10 puissance gogol - ou 10 puissance 10 puissance 100.
Pour me faire une idée de la taille de ce nombre, j'ai discuté avec le mathématicien Joel David Hamkins, de l'université de Notre Dame aux États-Unis, qui publie une lettre d'information sur les nombres énormes et l'infini, intitulée Infinitely More (infiniment plus).
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Pour se faire une idée du nombre de chiffres dont il s'agit, Hamkins propose l'expérience de pensée suivante :
"Supposons que je vous donne ce dispositif d'impression : une imprimante ultra-rapide qui imprime des chiffres, et supposons, par exemple, qu'elle puisse imprimer un million de chiffres par seconde", explique-t-il. Imaginons maintenant qu'elle ait commencé à imprimer au début de l'Univers, il y a 13,8 milliards d'années, soit 10^18 secondes. "Même si vous imprimez un million de chiffres par seconde, si vous laissez cette chose fonctionner depuis le début des temps, depuis le Big Bang, vous n'en seriez même pas proche, vous n'auriez qu'une infime fraction d'un googol plex".
Hamkins souligne également une chose intrigante : il existe de grands nombres plus petits qu'un gogolplex qui ne peuvent être réduits à une notation plus simple ou à un simple mot, et qui sont donc "fondamentalement au-delà de notre compréhension". Ils n'ont jamais été imaginés ou exprimés.
"La seule façon de dire ce que sont ces nombres est de dire leurs chiffres. Mais même si l'on imprimait un million de chiffres chaque seconde, depuis le début des temps, on ne pourrait pas dire ces nombres", explique-t-il. "Il s'agit donc d'une situation intéressante, car cela signifie que nous disposons de descriptions simples de nombres énormes, mais que de nombreux nombres intermédiaires sont extrêmement difficiles à décrire. Il y a des nombres clés qui sont simples en termes de complexité descriptive, mais il y a des océans de complexité entre eux".
Même si l'on imprimait un million de chiffres par seconde, depuis le début des temps, on ne pourrait pas dire que ces nombres sont simples.
Cependant, les mathématiciens ont décrit des nombres encore plus grands qu'un gogolplex. Le plus célèbre est le nombre de Graham.
Conçu dans les années 1970, le mathématicien Ronald Graham l'a utilisé dans le cadre d'une preuve mathématique. Il l'a proposé pour résoudre un problème dans une branche des mathématiques appelée théorie de Ramsey, qui traite de la manière de trouver l'ordre dans le chaos.
Il est un peu difficile de comprendre les mathématiques sous-jacentes, mais la principale chose à savoir est que la création de cette méthode implique l'exponentiation à un degré qui fait froid dans le dos. Graham lui-même explique pourquoi dans cette vidéo pour la chaîne YouTube de mathématiques Numberphile.
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Sachez également que même si vous essayiez de l'écrire sur papier, il n'y aurait pas assez de place dans l'univers visible pour l'y faire figurer.
Mais qu'en est-il de l'infini ? Pour le commun des mortels, l'infini est un concept simple : il ne s'agit pas d'un nombre, mais de quelque chose qui s'étend à l'infini. Quant à savoir si l'esprit humain est capable de le comprendre véritablement, c'est une autre question.
Dans les années 1700, l'écrivain et philosophe Edmund Burke a écrit que "l'infini a tendance à remplir l'esprit de cette sorte d'horreur délicieuse qui est l'effet le plus authentique et le test le plus vrai du sublime". Pour Burke, le concept évoquait un mélange d'étonnement et de peur, de plaisir et de douleur, les deux à la fois. Et il était rare que les gens le rencontrent dans le monde, si ce n'est dans l'imagination, et même dans ce cas, ils ne pouvaient pas vraiment le connaître.
Cependant, au siècle suivant, le logicien Georg Cantor a repris le concept de l'infini et l'a rendu encore plus déroutant. Il a démontré que certains infinis sont plus grands que d'autres.
Comment cela se fait-il ? Pour comprendre pourquoi, il faut considérer les nombres comme des "ensembles". Si l'on compare tous les nombres naturels (1, 2, 3, 4, etc.) dans un ensemble et tous les nombres pairs dans un autre, chaque nombre naturel peut en principe être associé à un nombre pair correspondant. Cette association suggère que les deux ensembles - tous deux infinis - sont de la même taille. Ils sont "comptablement infinis".
Cependant, Cantor a montré qu'il n'était pas possible de faire la même chose avec les nombres naturels et les nombres "réels" - le continuum des nombres dont la décimale est comprise entre 1, 2, 3 et 4 (0,123, 0,1234, 0,12345, etc.).
Si vous essayez d'apparier les nombres de chaque ensemble, vous trouverez toujours un nombre réel qui ne correspond pas à un nombre naturel. Les nombres réels sont indéfiniment infinis. Par conséquent, il doit y avoir plusieurs tailles d'infini.
C'est difficile à accepter, et encore plus à imaginer, mais c'est ce qui arrive à l'esprit lorsqu'il tente d'appréhender l'énormité mathématique. Des nombres aussi énormes sont beaucoup plus difficiles à comprendre que ce qu'un enfant de 10 ans aurait pu imaginer.
*Richard Fisher est journaliste senior à la BBC Future. Twitter : @rifish
L'auteur a utilisé ChatGPT pour rechercher des sources fiables et calculer certaines parties de cet article.
